Otázky k ústní zkoušce
Definujte co to je metrika.
Uveďte tzv. "diskrétní" metriku a ověřte, že splňuje axiomy metriky.
Uvažujte funkci \(d:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}\) danou předpisem \(d(x,y) = y\) pro každé \((x,y)\in\mathbf{R}^2.\) Odůvodněte zdali se jedná o metriku.
Odůvodněte, že množina \(F\) je uzavřenou podmnožinou \({\mathbb R}^2\) (vzhledem k Euklidovské metrice.) \[F = \{(x,y)\in{\mathbb R}^2: y\ge x^{-1}\}.\]
Definujte pojem spojitosti zobrazení \(F : \mathbf{R}^n\to\mathbf{R}^m\).
Definujte pojem limity funkce \(f: \mathbf{R}^n\to \mathbf{R}\) v bodě \(x_0\in\mathbf{R}^n.\)
Vysvětle, proč neexistuje limita: \(\lim_{(x,y)\to(0,0)}(xy)/(x^2 + y^2).\)
Vysvětlete, že pokud existuje limita \(\lim_{(x,y)\to(x_0,y_0)}f(x,y)= L,\) potom pro každé \(\alpha\in\mathbf{R},\) \(\lim_{t\to 0}f((x_0,y_0) + t\cdot(\cos\alpha,\sin\alpha))=L.\)
Jak byste odůvodnili spojitost funkce \(F:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2\) dané předpisem: \(F(x,y)=(\ln(x^2 + y^2),(\sin(xy)).\)
Jak je definována parciální derivace \(\frac{\partial f}{\partial x}\) pro funkci \(z = f(x,y)\) a jak lze tuto derivaci vyjádřit pomocí tzv. směrové derivace?
Definujte pojem směrové derivace funkce dvou proměnných \(z = f(x,y)\) Jaký má geometrický smysl?
Definujte pojem totálního diferenciálu.
Vysvětlete proč je totální diferenciál \(df\) funkce \(f(x,y)\) v daném bodě \((x_0,y_0)\) lineární kombinací lineárních forem \(dx\) a \(dy.\) Jaké jsou koeficienty této lineární kombinace?
Vysvětlete proč je lineární funkce \(L(x,y) = Ax + By\) je v každém bodě diferencovatelná na základě definice.
Definujte pojem lokálního extrému funkce více proměnných.
Ukažte, proč funkce \(f(x,y) = x^2-y^2\) v počátku nenabývá lokální extrém.
Definujte pojem vázaného lokálního extrému (lokálního extrému vůči množině \(M.\))
Uvažujme čtvercovou a symetrickou matici \(\mathbf{A}\). Definujte, co znamená pozitivní definitnost resp. semidefinitnost matice \(\mathbf{A}\).
Definujte tzv. Cauchyovu počáteční úlohu.
Vysvětlete, jaké vlastnosti mají řešení lineární obyčejné diferenciální rovnice.
Vyslovte větu o existenci a jednoznačnosti řešení Cauchyovy počáteční úlohy.
Ukázková zkoušková písemka
Vypočítejte limitu: \[\label{eq: 1} \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{5x^2y}{x^2+y^2} = 0.\]
Vypočítejte parciální derivaci \(\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}(1,1)\), kde \(f(x,y)=2x^3y +xy^2.\)
Najděte parciální derivace \(\partial w/\partial s\) a \(\partial w/\partial t\) pro \(w = 2xy\), kde \(x = s^2 + t^2\) a \(y = s/t.\)
Najděte totální diferenciál funkce \(z = 2x\sin(y) - 3x^2y^2.\)
Najděte obecné řešení rovnice: \(y′ + y = e^x.\)